高等数学求积分的一些方法 II部分分式
本文核心词：数学,高等数学,微积分,导数,定积分,不定积分,积分方法,部分分式
这篇我们主要研究如何利用部分分式来求有理函数的积分问题
一、有理函数
形如
的函数叫做有理函数，其中p和q都是多项式
比如：
二、如何求解有理函数的积分
利用分部计算法（部分分式）求解（当然这是对于难题的通用解法）
有时候还需要用到多项式除法（又要用word编辑了//ω//）
三、多项式除法
多项式除法，就是两个多项式相除的算法，这个算法可以将复杂的多项式分式化简为很多个小项，这些小项都相对比较容易计算。
准备你的纸和笔，我们先学习如何计算多项式除法：
首先我们得知道（这是小学的知识）被除式与除式的关系：
2. 设有有理函数
3. 进行多项式除法，建立我们小学学过的除法算法：
我知道很丑，所以不要骂我ヽ(￣ω￣(￣ω￣〃)ゝ
4. 很简单，就跟我们小学学除法的算法是一样的，只是引入了未知数x而已：
这排版真的难看
5. 分析除式和被除式之间的关系：
根据第四步，我们发现：
被除式=5x^2+x-3
除式=x^2-1
所以根据关系式，就有
6. 等号两边除以x^2-1，得到：
其实多项式除法就是用来化简多项式的.
四、部分分式
是时候回到积分的问题了
Topic就是如何利用部分分式来解决多项式积分
还是那个例子
首先，看到比较难的有理函数，第一个想到的就应该是化简。怎么化简？多项式除法啊！
幸运的是，我们已经在“三”中解决了这个多项式除法，得出
3. 这样有理函数就变成了这种形式
4. 我们是要求这个函数的积分，所以要对这个函数求积：
5.利用积分的运算法则，得到：
第一项十分好求，但第二项呢
显然第二项是十分烦人的，但它却要成为我引入分部公式的例子
6. 为了求解
我们得用另外一种方法，它叫做分部，规则如下：（十分重要，一定要记住）
7. 我们要运用第6步提供的公式：
先进行因式分解，即：
我们发现分母有两个线性式，分别是x+1和x-1，所以根据部分分式就有：
接下来就应该解出A和B，其实也很简单，只要同分然后确定A和B的值就行了
即
如果令x=1，那么B=3/2
如果令x=-1，那么A=-1/2
也就是
8. 代入积分式，得到
即
使用换元法，就可以得到这个式子
9.将这个结果代入原来的积分，得到
